Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir beginnen heute mit Teil A der Vorlesung, dem technischen Teil A der Vorlesung.

Dieser Teil A wird uns für mehrere Vorlesungsstunden beschäftigen.

Es handelt sich um die mathematischen Fundamente.

Ich wollte das ursprünglich Struktur der Raumzeit nennen, aber ich hätte es eigentlich nennen müssen

mathematische Struktur, die einem Konzept von Raum oder von Zeit oder von Raum und Zeit

oder von Raumzeit, ein Wort, zugrunde liegt.

Aber wir machen doch überhaupt keine Physik.

Wir machen nur Mathematik, nur die Grundlage.

Und es ist ganz sinnvoll, die Mathematik zu trennen von der Physik.

Mathematik, das ist was Ewigbleibendes, das muss in sich Sinn machen, hat aber mit der Welt nichts zu tun.

Die Mathematik hat nichts zu tun mit der Welt und sie will auch nichts zu tun haben mit der Welt.

Denn nur indem sie diesen Status hat, kann man sie auf verschiedene Begebenheiten anwenden, indem man Modelle der Welt baut.

Und der ganze Schmutz der Modellierung, der steckt eben genau dort, in der Modellierung.

Die Mathematik ist sauber, aber die Anwendung auf die Welt, da müssen sie nähern, abstrahieren, den Luftwiderstand weg abstrahieren, und so ein Quatsch.

Aber jetzt, was wir zunächst machen, das ist per sich analytisch gültig.

Ok, heute ist das Thema topologische Mannichfaltigkeiten und obwohl ich gerade argumentiert habe, dass wir nur Mathematik machen, gebe ich Ihnen dennoch eine physikalische Motivation aus unserem Kontext.

Also unser Ziel, unser erstes Etappenziel ist ja ein mathematisches Bild der physikalischen Raumzeit.

Aber nehmen Sie das mit Raumzeit noch nicht so ernst, gerade was ich jetzt sage, das gilt auch für den Raum per se und so weiter.

Und wenn wir uns fragen, was soll denn das sein, diese Raumzeit im modell, im mathematischen Modell, da nehmen wir als gröbsten unteren Level an, die Raumzeit, das ist eine Menge.

Das ist zumindest eine Menge, anschaulich die Menge der Punkte im Raum, und es wird sich rausstellen, die Raumzeit, also ich schreibe hin, Raumzeit zumindest eine Menge, und es wird sich rausstellen, damit das es eine Menge ist, haben wir noch gar nicht genug Struktur.

Und das ist jetzt eine Schlüsselidee, Sie müssen nacheinander diese Menge ausstatten mit mehr und mehr Struktur.

Und auf jedem Strukturniveau, auf jeder Lage, Strukturlage, die wir einführen, gibt es dann neue tolle Dinge, die wir tun können.

Und zum Beispiel ist es ja so, in der klassischen Physik, wenn Sie Punkte betrachten, dann wollen Sie auf jeden Fall eine Sache haben, also nehmen wir mal an, das hier wäre das, was ein Punkteilchen, wäre die Bahnkurve eines Punkteilchens im Raum.

Das macht halt sowas, aus irgendwelchen Gründen. Dann sagen wir, yo, okay, das ist eine Punkteilchentrajektorie im Raum, in der Raumzeit, das ist im Moment alles nicht wichtig.

Das ist okay, was absolut nicht okay ist, ist sowas.

Und das kommt hier von, geht weiter, denn die Teilchen, die leben unendlich lange. Wir können keine Teilchen erzeugen oder vernichten.

Könnten wir auch machen, machen wir nicht. Okay, es kann nicht sein, sagen wir in der klassischen Physik, dass die klassischen Teilchen hüpfer machen, dass sie hier hinlaufen und hüp, plötzlich ist es da drüben.

Das wollen wir nicht. Wir wollen stetige Bahnkurven. Also wir wollen, und das wollen wir als Physiker, wir wollen stetige Bahnkurven von Teilchen.

Bahnkurve, Trajektorie, das ist alles das Gleiche. Und stetig heißt es, macht keine hüpfer.

Ja, also was ist so eine Bahnkurve? Da geben wir jetzt mal einen Namen. So eine Bahnkurve, die heißt mal Gamma.

Da hat mir nichts besseres ein, Gamma. Was ist denn das mathematisch für ein Objekt, so eine Bahnkurve?

Da müssen Sie doch zu jedem, ich sag jetzt mal Zeitpunkt, aber allgemeiner gesagt, für einen bestimmten Parameterwert muss ich wissen, wo ich im Raum bin.

Aha, Raumzeit ist zumindest mal eine Menge, geben wir ja doch mal einen Namen, groß M. Eine Kurve in einer Menge, was ist das für ein mathematisches Objekt?

Das ist eine Abbildung, und zwar eine Abbildung, die einer reellen Zahl, nämlich dem Parameter, Sie können gerne mal Zeit denken, aber die einem Parameter,

der hier weiter läuft, wenn Sie in dieser Kurve entlang laufen, der jedem Parameterwert einen Punkt in diesem Raum zuordnet.

Ist es klar, dass so eine Kurve so eine Abbildung ist? Okay.

Vorsicht, zwei Kurven können genau die gleiche Bahnkurve haben, wenn Sie so drauf gucken, aber die eine wird schnell durchlaufen und die andere langsamer,

oder die eine manchmal schnell und dann wieder langsamer, ist klar. Es sind dann natürlich verschiedene mathematische Objekte.

Also wenn Sie jetzt, ich mal mal zweimal, ich mal jetzt sagen, das ist die Kurve Gamma, und jetzt mal ich daneben, aber Sie müssen sich das vorstellen,

es ist darüber gemalt, daneben mal ich nochmal diese Bahnkurve und sag, das ist jetzt aber Gamma-Schlange.

Also es könnte zum Beispiel sein, dass zum Parameterwert Gamma von Null, also Parameterwert Null, ist es dieser Punkt im Raum, also die Tafelebene ist jetzt mal hier dieser Raum M,

und dass ich bei Gamma, Entschuldigung, beim Parameterwert 1 hier bin und beim Parameterwert ein Halb dort in der Mitte, könnte ja sein.

Und jetzt sehen Sie, jetzt nehmen wir eine andere Kurve Gamma-Schlange, die hier eigentlich so drüber liegt, die genau dieselbe Bahnkurve hat,

und die fängt auch von mir aus sogar noch, Gamma-Schlange von Null ist auch dieser Punkt, das soll der gleiche sein, und Gamma-Schlange von 1 ist auch dieser Punkt,

aber Gamma-Schlange von ein Halb, das liegt viel näher hier dran.

Okay, also das hier wird vielleicht so durchlaufen, wenn Sie jetzt mal an Zeit denken, müssen Sie nicht unbedingt,

und das da wird durchlaufen, und es sind einfach, obwohl die Bilder gleich aussehen, sind die beiden Abbildungen verschieden,

es sind verschiedene Bahnkurven, weil eben die mathematischen Objekte verschieden sind.

Okay, so, in einer Menge. Aber ein großes Problem ist, was zum Teufel heißt denn stetig?